数値解析法及び演習第十回

[1]ガウス分布

ある量を繰り返し計測すると，計測値は特定の分布をとることが多い．分布の中でも特に重要なものはガウス分布（正規分布）である．

$\begin{displaymath} f(x)={1\over \sqrt{2\pi}\sigma}\exp(-x^2/2\sigma^2) \end{displaymath}$

(1)

式(1)において，σ²は分散である．

ガウス分布の図（平均値＝１，分散＝１）

ガウス分布に近い計測値の例（新しい誤差論：古澤康和著より作成）：

生徒の身長の分布．

セシウム原子から放出されるガンマ線の計測結果．横軸はチャネル数，縦軸は計数値．

スペクトル線の位置の平均値からのずれ．横軸は残差でμｍ単位．

数値実験を行うと乱数が必要になる場合がある．コンピュータで乱数を発生させる方法はいくつかあって，それについて学ぶ．なお，コンピュータで発生できるのは「真の」乱数ではなく疑似乱数である．

これは，

$\begin{displaymath} x_{n+1}=ax_n+b \quad {\rm mod}\,\mu \end{displaymath}$

(2)

によって順次乱数を発生させるものである．右辺で計算した値をμで割り，その余りを左辺に代入する．

3ビットの計算機において乱数列を発生させ，その周期についてしらべてみよ． x₁=1とし，μ=4とせよ．a=3,b=1, a=2,b=1, a=1,b=3の場合についてしらべよ．

32ビット計算機では，混合合同法をもちいると

       I=843314861*I+453816693

      if(I.lt.0) I=(I+2147483647)+1
      ran=float(I)*4.656612873D-10

をつかうことで[0,1)に規格化された乱数をつくることができる．

上のアルゴリズムを用いて乱数を発生させ，平均値，標準偏差を求めよ．乱数を発生させる回数を10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000と変化させてみよ．
解析的に平均値，標準偏差を求めよ．

平均値μ，分散σ²をもつ「任意の」確率分布に従う乱数列x₁,x₂,x₃,..., x_n がある．乱数列を何回も作りだしたときにその平均値Xの分布は，平均μ，分散σ²/nの正規分布に近づく．

整数の目盛がふられた定規を考える．原点(x=0)にいる人がランダムに隣の目盛りにうつる．そのときの足取りを計算せよ．何通りも足取りを計算させてその平均をとり，ステップ数Nと原点からの距離R=|x|をグラフに表し，その関数形 R=R(N)を推測せよ．