数値解析法及び演習第十一回

[1]ガウス分布

ある量を繰り返し計測すると，計測値は特定の分布をとることが多い．分布の中でも特に重要なものはガウス分布（正規分布）である．

$\begin{displaymath} f(x)={1\over \sqrt{2\pi}\sigma}\exp(-x^2/2\sigma^2) \end{displaymath}$

(1)

式(1)において，σ²は分散である．

ガウス分布の図（平均値＝１，分散＝１）

ガウス分布に近い計測値の例（新しい誤差論：古澤康和著より作成）：

生徒の身長の分布．

セシウム原子から放出されるガンマ線の計測結果．横軸はチャネル数，縦軸は計数値．

スペクトル線の位置の平均値からのずれ．横軸は残差でμｍ単位．

[2]乱数の発生法

数値実験を行うと乱数が必要になる場合がある．コンピュータで乱数を発生させる方法はいくつかあって，それについて学ぶ．なお，コンピュータで発生できるのは「真の」乱数ではなく疑似乱数である．

混合合同法

これは，

$\begin{displaymath} x_{n+1}=ax_n+b \quad {\rm mod}\,\mu \end{displaymath}$

(2)

によって順次乱数を発生させるものである．右辺で計算した値をμで割り，その余りを左辺に代入する．

練習問題1

3ビットの計算機において乱数列を発生させ，その周期についてしらべてみよ． x₁=1とし，μ=4とせよ．a=3,b=1, a=2,b=1, a=1,b=3の場合についてしらべよ．

32ビット計算機では，混合合同法をもちいると

       I=843314861*I+453816693

      if(I.lt.0) I=(I+2147483647)+1
      ran=float(I)*4.656612873D-10

をつかうことで[0,1)に規格化された乱数をつくることができる．

練習問題2

上のアルゴリズムを用いて乱数を発生させ，平均値，標準偏差を求めよ．乱数を発生させる回数を10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000と変化させてみよ．
解析的に平均値，標準偏差を求めよ．
乱数の和の分布がどのような形状になるか．
- 乱数をN個発生させ，その和を求めよ．
- (N個の乱数の和-N/2)/Nを求めよ．
- 上の計算を多数回行い，(N個の乱数の和-N/2)/N（以後xとする）を多数回求めよ．
- xの範囲は-1/2≤x≤1/2となる．この範囲を0.01刻みごとに区切り，（それぞれの区切りにxが入る場合の数）/（全体の場合の数）を求めよ．
- Nを1から10まで変化させて分布の形状が変化するか観察せよ．

練習問題3

整数の目盛がふられた定規を考える．原点(x=0)にいる人がランダムに隣の目盛りにうつる．そのときの足取りを計算せよ．何通りも足取りを計算させてその平均をとり，ステップ数Nと原点からの距離R=|x|をグラフに表し，その関数形 R=R(N)を推測せよ．

[3]モンテカルロ法

乱数を用いると多重積分を容易に行うことができる．例としてN次元単位球の体積を求めてみよう．

乱数をN個用意する．各乱数 x_i (1≤i≤N) は0から1の値をとる．この乱数の組をW回生成する．生成した乱数のうち，

$\begin{displaymath} x_1^2+x_2^2+x_3^2+....+x_N^2\le 1 \end{displaymath}$

(3)

を満たす組の数をwとすると，N次元球の体積は近似的に

$\begin{displaymath} V_{N}=2^N\times {w\over W} \end{displaymath}$

(4)

と求めることができる．一方で解析解は

$\begin{displaymath} V_{2m+1}={2(2\pi)^m\over (2m+1)!!} \quad m=0,1,2,... \end{displaymath}$

(5)

$\begin{displaymath} V_{2m}={\pi^m\over m!} \quad m=1,2,3,... \end{displaymath}$

(6)

となる．

練習問題4

N=2の場合について，W=10, 10², 10³, 10⁴と変化させて誤差の変化を観察せよ．
W=10⁴とし，N=1～10までについて体積を算出せよ．体積はどう変化したか？

数値解析法及び演習 第十一回