数値解析法及び演習第十五回

第一問（10点）

次の二階常微分方程式をルンゲクッタ法を用いて数値的に解け．t=0　で　x=0, dx/dt = 1, タイムステップdt=0.01とする．結果を横軸t,　縦軸xでグラフをgnuplotで描画すること．解析解を求め，t=1における数値解-解析解の数値を求めよ．

$\begin{displaymath} {d^2x\over dt}=-x-2{dx\over dt} \end{displaymath}$

(1)

プログラムと，t=1における数値解-解析解の数値を送付すること．

次の積分をシンプソン公式を用いて数値的に求めよ．積分区間を100分割すること．

$\begin{displaymath} \int_0^1 \tan^{-1}x dx \end{displaymath}$

(2)

プログラムと解の値を送付すること．

第12回の講義（1/11）において配布した，　月衛星「かぐや」全球地殻厚データ（crust-basalt_mac_720x360.raw）を用いて下記の問いに答えよ．

問い：月の地殻が最も厚い地点の緯度と経度を求めるプログラムを作成しなさい．

全球地殻厚データの緯度方向は-89.75度を始点として0.5度おき（180度÷360ピクセル=0.5度/ピクセル）に89.75度まで，経度方向には0.25度から0.5度おき（360度÷720ピクセル=0.5度/ピクセル）に359.75度までのデータとなっている．

プログラムおよび緯度と経度の数値を送ること．

乱数の和がどのような分布を持つか調べる．以下の1から4の順にプログラムを作成せよ．

0.0から1.0までの乱数をN個発生させ，その平均値を求めよ．
上の計算を１０回行い，N個の乱数の平均値を１０個モニタに表示させよ．各平均値が異なっていることを確認せよ．
0.0から2.0の範囲を0.01ごとに区切り，それぞれの区切りに入る平均値の数を求めよ．たとえば平均値が0.015であったら，0.01-0.02の区切りに入る．要素が200個の配列f(200)を用意し，f(1)には0.0-0.01の間に入る平均値の数，f(2)には0.01-0.02の間に入る平均値の数．．とすること．2より大きい平均値は数えなくてよい．平均値は1000000個生成すること．
横軸に各区切りの平均値（たとえば0.01-0.02なら0.015），縦軸にその区切りに入る平均値の個数，のグラフをgnuplotで作成する．Nを1から5まで変化させて分布の形状がどのように変化するかgnuplotで観察せよ．どのNでガウス分布に近いなめらかな分布になるか．

プログラムと，なめらかな分布となるNの数値を送付すること．